Sirul numerelor lui Fibonacci

Mi-am amintit de curand o discutie avuta cu cineva cu mult timp in urma. Venise vorba despre adunari si scaderi. Cred ca era o colega invatatoare. Din discutia cu ea (e pasionata de matematica) reiesea ca se poate demonstra matematic ca 1+1=3. Sau poate am inteles gresit. Asa ca am pornit cautarile. Conform sloganului "Just do it", am mers pe traseul "Just Google it" :) Evident ca nu am gasit, pt ca nu am avut rabdare sa trec peste prima pagina de sugestii Google. Asta, pentru ca m-am oprit asupra unui alt concept, sirul numerelor lui Fibonacci.

In anul 1202, Fibonacci cerceta felul in care iepurii se pot inmulti, daca ar trai in conditii ideale (fara boli, cu hrana potrivita etc). A pornit de la o pereche de iepuri nou-nascuti, presupunand ca femela va da nastere unei alte perechi, formata si ea dintr-o femela si un mascul. Presupunand ca toti iepurii traiesc si ca toate femelele produc o pereche de pui in fiecare luna, Fibonacci cauta sa afle cate perechi se nasc intr-un an.

Schema ar fi asta:



Evident, in prima luna, ar fi doar prima pereche. In a doua luna, aceasta pereche da nastere inca unei perechi (cf. regulii ca femela naste 2 pui, o femela si un mascul). La inceputul celei de-a treia luni, vor fi perechea originala, primii lor pui care vor avea si ei pui. Si asa mai departe.

Sirul lui Fibonacci porneste de la 0 si 1 (primele numere naturale) si continua adunand ultimele 2 numere pentru a-l obtine pe urmatorul:

0+1=1

0 1 1 1+1=2

0 1 1 2 1+2=3

0 1 1 2 3..... si asa mai departe, ajungand la niste numere pe care, personal, nu mai stiu cum sa le citesc. Iata un exemplu (nr. 190 in "clasamentul" lui Fibonacci): 2.281.217.241.465.037.496.128.651.402.858.212.007.295. Am pus puncte pentru a marca clasele, dar...

Sirul incepe asa: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ...



Ce mi s-a parut extrem de interesant a fost descompunerea in factori primi a acestor numere.
Fiecare dintre acestea este produsul dintre diverse numere prime la o anumita putere si un numar vizibil mai mare, care este si el prim (verificat cu ciurul lui Eratostene).


Iata descompunerea in factori primi a primelor 30 de numere din sirul lui Fibonacci, cu amendamentul ca pe blogul asta nu am descoperit cum se scriu puterile:)) inca. Asa ca o sa folosesc litera p pentru putere si rosu pentru a marca factorii primi care mi s-au parut interesanti:


0 : 0


1 : 1

2 : 1

3 : 2

4 : 3

5 : 5

6 : 8 = 2p3 (adica 2 la puterea a 3-a)

7 : 13


8 : 21 = 3 x 7


9 : 34 = 2 x 17


10 : 55 = 5 x 11


11 : 89


12 : 144 = 2p4 x 3p2

13 : 233

14 : 377 = 13 x 29


15 : 610 = 2 x 5 x 61


16 : 987 = 3 x 7 x 47

17 : 1597



18 : 2584 = 2p3 x 17 x 19


19 : 4181 = 37 x 113

20 : 6765 = 3 x 5 x 11 x 41

21 : 10946 = 2 x 13 x 421

22 : 17711 = 89 x 199

23 : 28657

24 : 46368 = 2p5 x 3p2 x 7 x 23

25 : 75025 = 5p2 x 3001

26 : 121393 = 233 x 521

27 : 196418 = 2 x 17 x 53 x 109

28 : 317811 = 3 x 13 x 29 x 281

29 : 514229

30 : 832040 = 2p3 x 5 x 11 x 31 x 61


Cam in felul asta, Fibonacci a demonstrat cum se face din tzantzar armasar :) O sa spuneti, probabil, "si ce daca?". Faza este ca teoria lui cu insumarea numerelor precedente pentru a obtine un numar nou se regaseste chiar si in forma unor spirale, iar in natura sub forma unor melci.





Foarte tare... Regulile astea sunt verificabile in toate ariile vietii.. Dashtept om...